martes, 18 de octubre de 2011

Historia de la Circunferencia!


Eratóstenes y la circunferencia terrestre


Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta, pero solo por cuestiones filosóficas. Platón y Pitágoras no podían concebir la figura de la misma, que albergaba el pensamiento humano, como algo no perfecto. Y por supuesto, establecieron dicha idea de una esfera perfecta, aunque sin fundamentos. Y es Aristóteles quien aporta evidencias de los dichos de su maestro Platón, al observar que en los eclipses  lunares, la sombra proyectada sobre la  Luna tenia forma circular.

Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. ¿Cuán grande era la Tierra?
Eratóstenes, filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandes pensadores de la antigüedad, sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmaban que era en todo el segundo mejor del mundo. Pero fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.C sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro.
Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena, actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectaba sombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, un palo vertical sí proyectaba sombra. Y se preguntó porque. La primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierra no podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud para ambos palos, sin importar de la distancia que los separaran (el Sol esta tan lejos que sus rayos son paralelos cuando llegan a la Tierra). Comprendió entonces que la única respuesta posible era que la superficie de la Tierra estaba curvada, y cuanto mayor sea la curvatura, mayor iba a ser la diferencia entre las longitudes de la sombra. Y quiso determinar la circunferencia de la Tierra. Sabia que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos siete grados a lo largo de la superficie de la Tierra, por la diferencia entre las longitudes de las sombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra, formaran un ángulo de siete grados. Este resultado es aproximadamente una cincuentava parte de los trescientos sesenta grados que contiene la circunferencia entera de la Tierra. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo que contrató a un hombre para que lo midiera a pasos. El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, siendo un estadio egipcio 157,2 metros. Una distancia de 792,29 kilómetros. Entonces, esta distancia entre Siena y Alejandría siendo igual a la cincuentava parte de la circunferencia (como había determinado por las sombras de los palos) da como resultado, multiplicando ambos, 39614,4 kilómetros. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra. Solo un error de aproximadamente 1%, ya que la verdadera circunferencia es 40008 kilómetros. Impresionante.



ejemplo: 
1.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

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problemas:
1.El desafío de esta semana para unos jovenes apasionados por las matemáticas consiste en calcular  la ecuación de cierta circunferencia podrán llegara a su objetivo, su profesor les da el siguiente pregunta ¿Calculen la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es raíz de cinco y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

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2. luciana es una joven de 16 años que cursa el grado décimo es coleccionista de círculos ya que ha sido una de sus figuras favoritas tiene rojos azules grandes pequeños con olor y sin olor su profesor de trigonometria empieza a explicarles sobre la circunferencia y luciana que es una joven muy apasionada decide adelantarse y coger una de sus circuferencias mas valiosas ecuacióny determinar sus   coordenadas del centro y del radio .


ecuación
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3. pedro es un profesor de matemateticas recién graduado al pasar su hoja de vida en el colegio los ángeles de mosquera lo llaman al otro dia para que presente una evaluación la cual determina si es apto para el trabajo su prueba consite en  Determinr las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0 .

4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0
ecuación
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4.antonio es un concursante de de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011y le dan ciertos problemas uno de ellos es sobre las circunferencia ¿puedes ayudarle antonio  dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, a hallar el centro y el radio?

solución
5. maría va de paseo con su mejor amiga y quieren ir a una de la piscinas circulares mas grande  que hay en esta ciudad al llegar maría demuestra gran interés por esta y se acuerda lo visto sobre las circunferencias asi que decide  Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
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taller
1. juan quiere plantar un cesped en un parque circular que tiene una fuente de la misma forma en el centro de 4 metros de diametro. si el radio del parque son 5 metros ¿cual es la superficie de cesped que plantara juan ?

solucion:
_ superficie de cesped que plantara juan = superficie del parque = superficie de la fuente
_superficie del parque= 3.14 x 5 = 78,5 m cuadrados
-superficie de la fuente = 12,56m cuadrados
luego la superficie del cesped que platara juan sera 78,5 -12,56 = 65,94 m cuadrados

2. completa las siguientes fraces añadiendo mayor igual o menor segun corresponda:
consideremos dos circunferencias de 6cm de radio cada una
- si las dos circunferencia son exteriores, la distancia entre sus centros es que ........ 12cm
- si la dos circunferencias son secantes, ladistancia entre sus centros es que ......... 12 cm
- si las dos circunferecia son tangentes, la dsitancia entre sus centros es que ....... 12cm

slucion:

- si las dos circunferencia son exteriores, la distancia entre sus centros es que ...mayor..... 12cm
- si la dos circunferencias son secantes, ladistancia entre sus centros es que .....menor.... 12 cm
- si las dos circunferecia son tangentes, la dsitancia entre sus centros es que ...igual.... 12cm

3. completa la siguiente frase:
la circunferencia es un linea ...............  ................ y plana con todos sus puntos a ............... distancia del..............
solución: 
la circunferencia es un linea ....curva...........  .......cerrada....... y plana con todos sus puntos a .....igual.......... distancia del.......centro.......
4.la ecuacion dada                   representa una circunferencia. determina su centro c (h,k) y su radio r 

..solucion
La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:  
 
 
 deduce que:  y . 
Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.



5.Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
solucion:
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6.Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

solucion:
dibujosolución
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7.Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:
x + 7y -20 = 0

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3x + 4y - 27 = 0

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x + y - 10 = 0

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8.Determina las coordenadas del centro y del radio de la circunferenciaecuación
solucion:
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9.Determina las coordenadas del centro y del radio de la circunferencia
ecuación
solucion:
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10.Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
solucion:
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JUEGA Y DIVIÉRTETE

1 Quitando dos palillos conseguir dos triángulos
equiláteros.

2.Quitando dos palillos conseguir dos cuadrados


1 comentario:

  1. Esta informacion es atribuida a http://elhombremediocre.blogspot.com/2006/11/eratstenes-y-la-circunferencia.html

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